действующие на массу рат, включая и силы инерции, должны находиться в равновесии:
/((F-f)^-gradp)^ = °-
Вследствие произвольности объема т получим уравнение движения в векторной форме
— =F--gradp. 2.3)
dt р
В большинстве задач, связанных со взрывом, массовыми силами F можно пренебречь.
2.1. Уравнения газовой динамики
21
Производная dV/dt есть ускорение заданной частицы среды, передвигающейся в пространстве, а не ускорение в данной неподвижной точке пространства. Для того, чтобы определить ускорение частицы, находящейся в заданной фиксированной точке пространства, выразим полную производную dV/dt по формуле векторного анализа
dV BV
^ = ^ +(VV)V. (2.4)
Первый член правой части этого уравнения определяет ускорение в данной точке пространства при постоянных х, у и z, а второй член — ускорение, обусловленное изменением скорости (для данного момента времени) при переходе от данной точки пространства к точке, удаленной от нее на расстояние dr, пройденное частицей в течение времени dt. Используя (2.4), мы можем теперь уравнение (2.3) представить в следующем виде:
OV 1
-=- + (W)V + - gradp = F. (2.5)
at р
Уравнение (2.5) есть искомое уравнение движения идеальной жидкости, известное также под названием уравнения Эйлера. Из векторного анализа известно, что
(l/2)gradV2 = (VV)V + [V rot V],
где V = у/и2 + у2 + w2 — абсолютная величина скорости течения V. Используя это выражение, получим следующую векторную форму уравнения движения:
^ + grad(iV2) - [V rot V] = F - - gradp. (2.6)
Выведем теперь уравнение, характеризующее закон сохранения энергии. Рассмотрим среду, в которой происходит химическая реакция, сопровождающаяся выделением или поглощением энергии, причем фазовое состояние среды при этом изменяется.
В случае переменного числа молекул среды, термодинамическое тождество имеет вид
dE+pd{^j = TdS + Y^»idNi,
где E — внутренняя энергия и S — энтропия, отнесенные к единице массы среды,
1/р — удельный объем, Ці = (dE/dNi)s і — химический потенциал г-го сорта
* р
частиц, Ni — число частиц среды данного сорта в единице массы. На основании этого уравнения можно записать дифференциальное уравнение, выражающее закон сохранения энергии, в следующем виде:
dt +р dt dt dt •
Если число частиц постоянно Ni = const, то получим уравнение энергии для неадиабатного процесса с выделением или поглощением энергии, но без изменения фазового состояния среды:
22
2. Уравнения газовой динамики
dQdE d(l/p) _TdS dt ~ dt+P dt ~ dt'
Для адиабатного процесса dQ/dt = 0 и поэтому
или
dS/dt = 0. (2.8)
Здесь, как уже указывалось, полная производная энтропии по времени означает изменение энтропии данной перемещающейся в пространстве частицы. Поскольку
ds as A as дхі as ,ЛГ , _
j—1
где Xi — координаты частицы, находящейся в точке пространства (i = 1,2,3), то условие адиабатности движения в форме Эйлера можно записать в виде
^ + (VgradS) = 0. (2.9)
Если в некоторый начальный момент энтропия для всех частиц среды была одинакова, то, в силу адиабатности процесса, она остается постоянной в течение дальнейшего движения среды. В этом случае условие адиабатности принимает вид
S = S0 = const. (2.10)
Такое движение называется изоэнтропийным.
Дополнив выведенные нами основные уравнения адиабатного движения идеальной среды уравнением состояния
p = p(p,S), (2.11)
мы придем к замкнутой системе уравнений
^+div(pV)=0, ^ + (VV)V + igradp = F,
Я* ді p (2.12)
—+ (VgradS) = 0, p = p(p1S),
определяющей при заданных начальных и граничных условиях параметры V, р, р и 5, характеризующие движение и состояние идеальной жадкости (газа) как функциии координат и времени.
Другая форма этих уравнений имеет вид
at ' дЕ
dt
-? + div(pV) = 0, + (VV)V + - gradp = F,
+ і
dt dt p fo і ч\
dE V (do \
(Vgrad?)-^(^ + (Vgradp)j =0, p = p(p,E).
2.1. Уравнения газовой динамики
23
Для определения температуры среды T необходимо знать уравнения состояния P — p(Pj T) или S — S(p, T) для системы уравнений (2.12) и р = р(р, T) или E = Е(р, T) - для (2.13).
Перейдем теперь от векторной формы уравнений газовой динамики к координатной форме, в которой они являются удобными для решения и исследования.
В прямоугольной системе координат основные уравнения газовой динамики (2.12) при F = O примут вид
dp dp dp ^Bp (du dv dw\ _ п
dt Ьdx Vду Wdz ^ \дх ду dz J '
du du du du 1 dp _
dt dx dy dz pdx '
dv dv dv dv ldp
m+u^ + vdy- + wo-z + -pdy- = ^ (2-14)
dw dw dw dw ldp -7гг + u— + v— + w— + --f = 0, dt ox oy dz p oz
ds ds ds ds n . -dl + udx- + vdy- + wdz- = 0> p = p<p.s),
dE dE dt dx
или, вместо двух последних уравнений:
dE дЕ^ _ р_ /dp dp dp др\ _ dy dz p2 \dt dx dy dz J ' p = p(p, E).
В тех случаях, когда параметры, определяющие движение и состояние среды, зависят от времени, т.е. когда в заданной области пространства эти параметры со временем изменяются, движение среды называется неустановившимся. В тех же случаях, когда параметры движущейся среды в каждой заданной точке пространства остаются неизменными во времени, движение, напротив, называется установившимся. При этом, как очевидно, все частные производные по времени в наших уравнениях обращаются в нуль, и система уравнений (2.14) значительно упрощается.
